乘法是小学数学真正改变性质的地方。加法和减法是对数量的运算——把东西放在一起或分开。乘法是对运算的运算。3乘以4，意味着将加法本身执行若干次，或者将等量的组合在一起，或者计算阵列中的格子数。这是大多数孩子遇到的第一个真正抽象的算术概念，许多孩子在乘法上的困难，都源于它被介绍为只是快速加法，而实际上它是一种新的思维方式。
好消息是，乘法教得好，会成为小学数学中最令人满足的主题之一。规律比加法更丰富，策略更有趣，与几何、除法、分数和代数的联系是直接的。坏消息是，乘法也是许多孩子第一次遇到背诵压力的地方——令人畏惧的乘法表——而这种压力的处理方式决定了孩子是发展出真正的流利度，还是在压力下崩溃的脆弱记忆。
本指南介绍乘法的真正含义、孩子理解它的发展过程、建立真正流利度的策略，以及值得关注的误解。
乘法的真正含义
乘法比加法或减法有更多的现实解释，只见过其中一种的孩子，在遇到其他类型的问题时会遇到困难。
等分组。 四个袋子，每个装三个苹果。一共几个苹果？这里乘数（4）表示有多少组，被乘数（3）表示每组有多少。这是小学课程中最常见的起点。
重复加法。 3+3+3+3。同样的算术，稍有不同的框架——强调与加法的联系而非分组结构。许多课程以此方式引入乘法，以利用孩子已有的知识。
阵列。 按行和列排列的矩形对象。三排四把椅子，或四列三名士兵。总数相同（12），但结构让重要的事情变得可见：3x4和4x3产生从不同角度看的同一个阵列。这里交换律变得直观，这是等分组无法做到的。
面积。 宽三单位、高四单位的矩形面积为12平方单位。这种解释可以延伸到分数和小数测量，而离散对象的阵列无法做到。它也是通向代数的桥梁。
缩放与比较。 小明的贴纸是小红的三倍。小红有4张，小明有几张？这里乘法描述的是比较而非组合。孩子们通常发现缩放问题比等分组问题难，因为没有东西被组合或计数。
组合（笛卡尔积）。 你有三件衬衫和四条裤子。可以搭配多少种不同的套装？十二种，因为每件衬衫与每条裤子搭配。这种解释后来出现在概率和组合学中。
能在所有这些情境中识别乘法的孩子具有灵活的理解能力。只知道等分组的孩子，当问题以不同方式表述时，往往会默认使用加法。在练习事实之前，花时间学习多种解释。
从加法的概念飞跃
乘法不只是加法的捷径；它代表一种不同类型的运算。计算3+4时，两个数字扮演对称的角色——你在组合同类的两个数量。计算3x4时，两个数字在原始含义上并不扮演对称角色。其中一个（被乘数）是对象的数量；另一个（乘数）是该数量被复制的次数。
3x4=4x3是真正的数学发现，而不是微不足道的重述。阵列使这个发现变得可见：将一个3x4的阵列旋转九十度，就得到一个有相同数量对象的4x3阵列。这样第一次看到交换律的孩子会将这种洞察带在身边。
发展进程
孩子们通常经历这些阶段，尽管时间比加法更有变化。
阶段1：跳数。 在正式乘法之前，孩子们学习按2、5、10计数。这是变装的乘法，它建立了使乘法表日后可学的节奏。
阶段2：用实物进行等分组。 孩子将计数物排列成等组并计算总数。四组三个计数物，共十二个。这是作为物理动作的乘法。
阶段3：阵列。 孩子将计数物排列成矩形阵列，并认识到行x列=总数。阵列将跳数与乘法明确地联系起来。
阶段4：推导事实。 孩子用已知事实推导未知事实。我知道5x6是30，所以6x6一定是36（多一组6）。基于策略的推理取代了计数。
阶段5：回忆。 常见积变得自动化。孩子看到7x8，直接知道56。
许多课程和家长犯的错误是在第3、4阶段尚未巩固之前，通过计时闪卡练习直接跳到第5阶段。发展了阵列理解和推导事实策略的孩子能保留他们的事实，并可以重建任何他们忘记的内容。
基本词汇
从一开始就精确使用几个术语，可以避免以后的混淆：
因数：被相乘的数（在3x4=12中，因数是3和4）
积：乘法的结果（在3x4=12中，积是12）
倍数：可以通过将给定数乘以整数得到的数（12是3的倍数，因为3x4=12）
乘：乘法符号，大声读作乘以
倍数这个词特别值得早期教授，因为它为以后出现的因数、质数和最小公倍数的学习奠定基础。
具体-图像-抽象方法
具体阶段： 孩子将实物排列成等组或矩形阵列。四个一组的计数物，三行五列的积木。总数是孩子亲手搭建的东西。
图像阶段： 孩子在纸上画阵列。方格纸非常有用——在方格纸上涂阴影6x7矩形的孩子产生了42个方块。阵列还使分配律可见：6x7的矩形可以分成6x5（30）和6x2（12），30+12=42。
抽象阶段： 孩子使用数字和符号：6x7=42。此时意义已内化，符号只是运算的记录。
使乘法运作的运算法则
乘法比加法有更多有用的性质，对每一个性质的明确关注在小学数学的其余部分都会有所回报。
交换律。 3x4=4x3。阵列使这变得直观。实际收益是乘法表只需记忆一半：知道7x8的孩子也知道8x7，将记忆负担减少约一半。
结合律。 (2x3)x4=2x(3x4)。这使得在心算时可以重新组合因数。2x35可以直接计算，或计算为(2x7)x5=14x5=70。
分配律。 6x(7+3)=(6x7)+(6x3)。这是小学乘法中最有力的性质。它使面积模型运作，使标准算法运作，使7x12=7x10+7x2=70+14=84这样的心算成为可能。
乘法单位元。 任何数乘以1等于它本身。7x1=7。这听起来微不足道，但在孩子遇到分数时很重要：乘以5/5不改变数的值，这是等值分数的基础。
零性质。 任何数乘以0等于0。这偶尔会引起混淆，特别是在多位数乘法中出现一行零的地方。
孩子不需要背诵这些性质的名称来使用它们。但他们应该明确地接触这些性质，因为这些性质是使心算乘法成为可能的引擎。
乘法表的策略方法
诚实的答案是，策略优先，回忆其次，回忆从足够的策略练习中自然产生。策略方法按难度对事实进行分组，并以利用规律的方式教授每组。以下是一个可行的顺序：
x1和x0。
简单。任何数乘以一等于它本身；任何数乘以零等于零。两者都应理解为乘法含义的直接结果。
x2。
加倍。这从加法（倍数事实）中已经熟悉，所以二的乘法表主要是复习。
x10。
移动一个数位。7x10=70，不是因为你加了个零，而是因为七个一变成了七个十。教数位的原因很重要，因为加零的捷径在小数中不起作用。
x5。
x10的一半。要计算8x5，先计算8x10=80，然后减半得到40。
x4。
加倍再加倍。6x4=6x2x2=12x2=24。直接建立在二的乘法表上。
x8。
加倍加倍再加倍。7x8=7x2x2x2=14x4=28x2=56。建立在四的乘法表上。
x9。
这里有几个规律有效。九的倍数的数字之和为九（至少到9x10）是易记的。或者，9x7=10x7-7=70-7=63——用十的乘法表然后减。
平方数。
数字自乘（1x1、2x2、...12x12）的事实通常比其他事实更容易记住，并作为推导事实的锚点。7x7=49，所以7x8=56（多一组7），7x6=42（少一组7）。
x3和x6。
这些是最难干净推导的，通常是最后变得自动化的事实。推导策略（x6是x3的两倍；或x6是x5加多一组）有帮助，但这些事实可能只需要更多的直接练习。
拥有这些策略加上交换律的孩子，可以推导出任何单位数乘法事实。流利度从策略使用中自然发展而来。
乘法表问题，诚实而言
许多家长带着特定的焦虑来到乘法：孩子需要快速记忆乘法表，任何不以计时闪卡为基础的方法都是不够严格的。
现实更加微妙。乘法事实的流利回忆确实很重要，但如何达到流利度很重要。在策略理解尚未巩固之前被推入计时练习的孩子倾向于产生数学焦虑，他们达到的回忆往往是表面的。
先发展策略理解然后练习直到策略变得无形的孩子，到达同样的地方——即时回忆——但拥有更丰富的数学基础和少得多的焦虑。他们也有办法重建任何暂时忘记的事实。
实践建议：按上述顺序介绍策略，每天在短时段内练习，最后让计时练习来到，在孩子已经能够在心中推导大多数事实之后。
多位数乘法
一旦单位数事实扎实，多位数乘法引入了新的程序挑战。概念内容仍然是分配律——将较大的乘法分解为较小的——但程序有更多的可动部件。
面积模型。 许多现代课程通过面积模型引入多位数乘法。要计算23x14，画一个矩形，将其分成20x10区域（200）、20x4区域（80）、3x10区域（30）和3x4区域（12）。求和：200+80+30+12=322。该方法可以推广到更大的数字、小数和代数。
部分积。 面积模型的简化版本，以更紧凑的方式记录相同的计算。每个部分积写在自己的行上，最后全部相加。这会产生更少的错误，因为每个部分积是一个完整、合理的数字。
标准算法。 大多数成年人在学校学习的紧凑列式进位程序。一旦掌握就很高效，但是三者中最容易出错的，因为数位推理是隐藏的。标准算法只应在面积模型和部分积扎实之后引入。
需要注意的特定错误：在用十位数字相乘时，孩子需要在记录该部分积之前在个位列写一个占位零。忘记占位符的孩子会得到系统性错误答案。面积模型和部分积方法没有这个问题。
常见误解
将乘法视为仅仅是快速加法。看到6x4并只想到6+6+6+6的孩子，在分数和小数到来时会遇到困难。从一开始的多种解释有帮助。
认为乘法总是让事情变大。对于大于1的整数是真的，但对于乘以0、乘以1或乘以小于1的分数则是假的。
将x0与+0混淆。一个出人意料的常见失误：7x0=7，因为零什么都不做。明确教授7x0意味着七组虚无可以防止这种情况。
多位数中的数位错误。缺失占位零是标准算法中的经典错误。解决方法是先教面积模型或部分积。
混淆因数和加数。孩子有时会在应该乘法的时候做加法，特别是在应用题中。在练习中混合问题类型迫使孩子阅读每个问题。
建立真正流利度的练习
有效的乘法练习：短而频繁胜过长而偶尔；针对弱点的定向练习胜过通用混合练习；混合应用题和现实背景胜过单纯的孤立计算。
合理的练习轮换包括几分钟基于策略的事实练习、几分钟使用孩子正在学习的方法进行多位数工作，以及几道测试孩子是否能在语言中识别乘法情境的应用题。每天在这个轮换中练习，几周而不是几天，以任何单一密集课程无法做到的方式建立流利度。
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了解孩子何时准备好继续前进
当孩子能够以多种解释解释乘法的含义、自信地回忆单位数事实、用乘法解决涉及等分组、阵列、缩放和组合的应用题、用理解的方法处理两位数乘两位数的问题，并认识乘法与除法之间的关系时，孩子就准备好超越小学乘法了。
乘法流利度通常在四年级及以后继续发展。四年级初乘法表仍在萌发的孩子，在任何有意义的意义上并不落后。比日历更重要的是孩子是否有策略和理解来继续前进。
给成年人的最后想法
乘法是大多数后续数学的门户。除法直接依赖它。分数建立在它之上。代数在很大程度上是一种用于一般谈论乘法的语言。乘法扎实的孩子发现这些后续主题是可管理的；乘法薄弱的孩子发现它们神秘难懂。
这就是为什么急于乘法——记住乘法表然后继续前进——的诱惑始终是一个错误。在这个阶段仔细教学的投入，包括多种解释、真实策略、对性质的关注和对乘法表的耐心，会在多年后得到回报。没有更快的路。
放慢脚步，彻底建立概念，庆祝策略，事实自然会随之而来。他们总是如此。